Question

2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l₁：3x+4y-15=0，l₂經(jīng)過點O且與l₁垂直．
（1）求直線l₂的方程；
（2）設(shè)l₁、l₂、x軸兩兩相交的交點為A、B、C，試求△ABC內(nèi)切圓的方程．

Answer 1

分析 （1）利用兩條直線垂直的性質(zhì)求出直線l₂的斜率，用點斜式求得直線l₂的方程．
（2）設(shè)△ABC內(nèi)且圓的圓心為（a，b），依題意，圓的半徑為b（b＞0），根據(jù)圓心到直線l₁、x軸的距離都等于半徑，求得a、b的值，可得△ABC內(nèi)切圓的方程．

解答 解：（1）直線l₁的斜率為${k_1}=-\frac{3}{4}$，∵l₂⊥l₁，∴直線l₂的斜率${k_2}=-\frac{1}{k_1}=\frac{4}{3}$，
又∵l₂經(jīng)過點O，∴直線l₂的方程為$y=\frac{4}{3}x$，即 4x-3y=0．
（2）設(shè)△ABC內(nèi)且圓的圓心為（a，b），依題意，圓的半徑為b（b＞0），$\left\{\begin{array}{l}\frac{|3a+4b-15|}{5}=b\\ \frac{|4a-3b|}{5}=b\end{array}\right.$，
由圖可知，圓心（a，b）在直線l₁的左下方，在l₂的右下方，所以$\left\{\begin{array}{l}15-3a-4b=5b\\ 4a-3b=5b\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=1\end{array}\right.$，
故△ABC內(nèi)切圓的方程為（x-2）²+（y-1）²=1．

點評 本題主要考查兩條直線垂直的性質(zhì)，直線和圓相切的性質(zhì)，點到直線的距離公式，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題．