Question

4．已知數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足2S_n=（a_n+2）b_n，其中S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和．
（1）若數(shù)列{a_n}是首項為$\frac{2}{3}$，公比為$-\frac{1}{3}$的等比數(shù)列，求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）若b_n=n，a₂=3，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）在（2）的條件下，設${c_n}=\frac{a_n}{b_n}$，求證：數(shù)列{c_n}中的任意一項總可以表示成該數(shù)列其他兩項之積．

Answer 1

分析 （1）利用等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式即可得出．
（2）利用等差數(shù)列的通項公式、遞推關系即可得出；
（3）由（2）得${c_n}=\frac{n+1}{n}$，對于給定的n∈N^*，若存在k，t≠n，k，t∈N^*，使得c_n=c_k•c_t，只需$\frac{n+1}{n}=\frac{k+1}{k}•\frac{t+1}{t}$，即可證明．

解答 解：（1）∵${a_n}=\frac{2}{3}{（-\frac{1}{3}）^{n-1}}=-2{（-\frac{1}{3}）^n}$，S_n=$\frac{\frac{2}{3}[1-（-\frac{1}{3}）^{n}]}{1-（-\frac{1}{3}）}$=$\frac{1}{2}[1-（-\frac{1}{3}）^{n}]$．…（2分）
∴${b_n}=\frac{{2{S_n}}}{{{a_n}+2}}=\frac{{1-{{（-\frac{1}{3}）}^n}}}{{-2{{（-\frac{1}{3}）}^n}+2}}=\frac{1}{2}$．…（4分）
（2）若b_n=n，則2S_n=na_n+2n，∴2S_n+1=（n+1）a_n+1+2，
兩式相減得2a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n+2，即na_n=（n-1）a_n+1+2，
當n≥2時，（n-1）a_n-1=（n-2）a_n+2，
兩式相減得（n-1）a_n-1+（n-1）a_n+1=2（n-1）a_n，即a_n-1+a_n+1=2a_n，…（8分）
又由2S₁=a₁+2，2S₂=2a₂+4得a₁=2，a₂=3，
所以數(shù)列{a_n}是首項為2，公差為3-2=1的等差數(shù)列，
故數(shù)列{a_n}的通項公式是a_n=n+1．…（10分）
（3）證明：由（2）得${c_n}=\frac{n+1}{n}$，
對于給定的n∈N^*，若存在k，t≠n，k，t∈N^*，使得c_n=c_k•c_t，
只需$\frac{n+1}{n}=\frac{k+1}{k}•\frac{t+1}{t}$，
即$1+\frac{1}{n}=（1+\frac{1}{k}）•（1+\frac{1}{t}）$，即$\frac{1}{n}=\frac{1}{k}+\frac{1}{t}+\frac{1}{kt}$，則$t=\frac{n（k+1）}{k-n}$，…（12分）
取k=n+1，則t=n（n+2），
∴對數(shù)列{c_n}中的任意一項${c_n}=\frac{n+1}{n}$，都存在${c_{n+1}}=\frac{n+2}{n+1}$和${c_{{n^2}+2n}}=\frac{{{n^2}+2n+1}}{{{n^2}+2n}}$使得${c_n}={c_{n+1}}•{c_{{n^2}+2n}}$．                                               …（16分）

點評 本題考查了遞推關系、等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．