Question

16．已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD=120°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC、DC上，$\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{DF}，\overrightarrow{BE}=λ\overrightarrow{CE}$．若$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}=1$，則實(shí)數(shù)λ的值為-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 利用兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義由若$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}=1$，求得．

解答 解：∵$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{λ}{λ-1}$$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DF}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DC}$，
∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=（$\overrightarrow{AB}$+$\frac{λ}{λ-1}$$\overrightarrow{BC}$）（$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DC}$），
=$\overline{AB}$•$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{DC}$+$\frac{λ}{λ-1}$$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{AD}$+$\frac{λ}{λ-1}$$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{DC}$，
=|$\overline{AB}$|•|$\overrightarrow{AD}$|cos120°+$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{DC}$|cos0°+$\frac{λ}{λ-1}$|$\overrightarrow{BC}$|•|$\overrightarrow{AD}$|cos0°+$\frac{1}{2}•$$\frac{λ}{λ-1}$|$\overrightarrow{BC}$|•|$\overrightarrow{DC}$|cos120°，
=2×2×（-$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{2}$×2×2×1+$\frac{λ}{λ-1}$×2×2×1+$\frac{1}{2}•$$\frac{λ}{λ-1}$×2×2×（-$\frac{1}{2}$）
=$\frac{3λ}{λ-1}$=1，
解得λ=-$\frac{1}{2}$，
故答案為：-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，屬于中檔題．