Question

9．在△ABC中，點D在BC上，∠A=60°，若$\overrightarrow{AD}$=k（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$）=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$+$λ\overrightarrow{AB}$，且AB=4，則AD的長為3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 設$\overrightarrow{AE}$=$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$，$\overrightarrow{AG}$=$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$，運用平行四邊形法則，可得|$\overrightarrow{AF}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{AD}$|=$\sqrt{3}$k，再由向量共線定理和平面向量基本定理，可得λ=$\frac{3}{4}$，k=3，即可得到所求值．

解答 解：設$\overrightarrow{AE}$=$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$，$\overrightarrow{AG}$=$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$，
可得|$\overrightarrow{AE}$|=|$\overrightarrow{AG}$|=1，∠EAF=∠GAF=30°，
即有|$\overrightarrow{AF}$|=$\sqrt{3}$，
|$\overrightarrow{AD}$|=$\sqrt{3}$k，
又B，D，C共線，可得$\frac{1}{4}$+λ=1，即λ=$\frac{3}{4}$，
由k（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$）=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$，
可得$\frac{k}{4}$=$\frac{3}{4}$，即k=3，
則|$\overrightarrow{AD}$|=3$\sqrt{3}$．
故答案為：3$\sqrt{3}$．

點評 本題考查向量的模的求法，注意運用向量的平行四邊形法則和向量共線的定理，以及平面向量基本定理，屬于中檔題．