Question

2．記min{a，b}=$\left\{\begin{array}{l}{b，a≥b}\\{a，a＜b}\end{array}\right.$，當(dāng)正數(shù)x、y變化時(shí)，t=min{x，$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$}也在變化，則t的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 先推導(dǎo)$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{1}{\frac{{x}^{2}}{y}+y}$≤$\frac{1}{2\sqrt{\frac{{x}^{2}}{y}•y}}$，再分當(dāng)x≥$\frac{1}{2x}$與當(dāng)x≤$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$≤$\frac{1}{2x}$兩種情況探討最值．

解答 解：$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{1}{\frac{{x}^{2}}{y}+y}$≤$\frac{1}{2\sqrt{\frac{{x}^{2}}{y}•y}}$=$\frac{1}{2x}$，
當(dāng)x≥$\frac{1}{2x}$時(shí)，即x≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，t=min{x，$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$}=$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$，而$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$≤$\frac{1}{2x}$≤x≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當(dāng)x≤$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$≤$\frac{1}{2x}$時(shí)，也即0＜x≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，t=min{x，$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$}=x，而x≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
綜上t的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)的取最值的問(wèn)題，理解新定義函數(shù)的意義，并能運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想去解題是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．