Question

12．已知直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t+4\sqrt{2}}\end{array}\right.$（t是參數(shù)），圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cos（θ+$\frac{π}{4}$）．
（Ⅰ）求圓心C的直角坐標(biāo)；
（Ⅱ）由直線l上的點(diǎn)向圓C引切線，求切線長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圓C的直角坐標(biāo)方程，從而能求出圓心的直角坐標(biāo)．
（Ⅱ）直線l上的向圓C引切線，則切線長(zhǎng)為$\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}t-\sqrt{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}t+\sqrt{2}+4\sqrt{2}）^{2}-4}$，由此利用配方法能求出切線長(zhǎng)的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵$ρ=4cos（θ+\frac{π}{4}）$=2$\sqrt{2}cosθ$-2$\sqrt{2}sinθ$，
∴${ρ}^{2}=2\sqrt{2}ρcosθ-2\sqrt{2}ρsinθ$，
∴圓C的直角坐標(biāo)方程為${x}^{2}+{y}^{2}-2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}y=0$，即（x-$\sqrt{2}$）²+（y+$\sqrt{2}$）²=4，
∴圓心的直角坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）．
（Ⅱ）直線l上的向圓C引切線，則切線長(zhǎng)為：
$\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}t-\sqrt{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}t+\sqrt{2}+4\sqrt{2}）^{2}-4}$=$\sqrt{{t}^{2}+8t+48}$=$\sqrt{（t+4）^{2}+32}$$≥4\sqrt{2}$，
∴由直線l上的點(diǎn)向圓C引切線，切線長(zhǎng)的最小值為4$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓心的直角坐標(biāo)的求法，考查切線長(zhǎng)的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意極坐標(biāo)、直角坐標(biāo)互化公式的合理運(yùn)用．