Question

已知函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，存在常數(shù)a＞0使得f（a）=1，對任意實數(shù)x，y，有f（x-y）=

f(x)f(y)+1

f(y)-f(x)

，其中f（x）≠f（y）．若f（y）有意義，試證明：存在常數(shù)T＞0，使得f（x+T）=f（x）

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用

專題：證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：令y=a，得到f（x-a）=

f(x)+1

1-f(x)

，將x換成x-a，再x換成x-2a，化簡得到f（x+4a）=f（x），再由周期函數(shù)的定義可得T=4a，從而得證．

解答： 證明：令y=a，則∵f（a）=1
∴f（x-a）=

f(x)f(a)+1

f(a)-f(x)

=

f(x)+1

1-f(x)

，
∴f（x-2a）=

1+f(x-a)

1-f(x-a)

=

1+ 1+f(x) 1-f(x)

1- 1+f(x) 1-f(x)

=

2

-2f(x)

∴f（x-4a）=

1

-f(x-2a)

=

1

1 f(x)

=f（x），
即f（x+4a）=f（x），
即T=4a，
故存在常數(shù)T＞0，使得f（x+T）=f（x）．

點評：本題考查函數(shù)的周期的求法，運用賦值法是解決此類問題的關(guān)鍵，注意定義的運用．