Question

已知函數(shù)f（x）=x²+（lnx）²-2a（x+lnx）+2a²+1，a∈R，設(shè)g（x）=

1

2

f′（x），當(dāng)g（x）在x＞0上是增函數(shù)時，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：先求出函數(shù)g（x）的表達(dá)式，再由g′（x）=1+

1

x2

（1+a-lnx）＞0，得到a＞lnx-x²-1，令h（x）=lnx-x²-1，通過求導(dǎo)得到h（x）的最大值，從而求出a的范圍．

解答： 解：∵f′（x）=2x+

1

x

（2lnx-2a）-2a，
∴g（x）=x+

1

x

（lnx-a）-a，
∴g′（x）=1+

1

x2

（1+a-lnx）＞0，
∴a＞lnx-x²-1，
令h（x）=lnx-x²-1，
∴h′（x）=

1

x

-2x，
令h′（x）＞0，解得：0＜x＜

2

2

，
∴h（x）在（0，

2

2

）遞增，在（

2

2

，+∞）遞減，
∴h（x）_max=h（

2

2

）=-

1

2

ln2-

3

2

，
∴a的范圍是（-

1

2

ln2-

3

2

，+∞）．

點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不等式恒成立問題，是一道中檔題．