Question

【題目】經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查,某種商品在銷售中有如下關(guān)系:第x(1≤x≤30,x∈N+)天的銷售價(jià)格(單位:元/件)為f(x)=第x天的銷售量(單位:件)為g(x)=a-x(a為常數(shù)),且在第20天該商品的銷售收入為1 200元(銷售收入=銷售價(jià)格×銷售量).

(1)求a的值,并求第15天該商品的銷售收入;

(2)求在這30天中,該商品日銷售收入y的最大值.

Answer 1

【答案】(1) a=50. 第15天該商品的銷售收入為1 575元.

(2) 當(dāng)x=5時(shí),該商品日銷售收入最大,最大值為2 025元.

【解析】

(1)由題意可得f(20)g(20)=(60-20)(a-20)=1 200,則a=50.據(jù)此計(jì)算可得第15天該商品的銷售收入為1 575元.

(2)由題意可知y=結(jié)合分段函數(shù)的解析式分類討論可得x=5時(shí),該商品日銷售收入最大,最大值為2 025元.

(1)當(dāng)x=20時(shí),由f(20)g(20)=(60-20)(a-20)=1 200,

解得a=50.

從而可得f(15)g(15)=(60-15)(50-15)=1 575(元),

即第15天該商品的銷售收入為1 575元.

(2)由題意可知

y=

即y=

當(dāng)1≤x≤10時(shí),y=-x2+10x+2 000=-(x-5)2+2 025.

故當(dāng)x=5時(shí)y取最大值,ymax=-52+10×5+2 000=2 025.

當(dāng)10<x≤30時(shí),y<102-110×10+3 000=2 000.

故當(dāng)x=5時(shí),該商品日銷售收入最大,最大值為2 025元.