Question

4．△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，已知向量$\overrightarrow{m}$=（a，btanA），$\overrightarrow{n}$=（b，atanB），若$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，試判定△ABC的形狀．

Answer 1

分析 通過向量的共線結(jié)合正弦定理以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡即可得到結(jié)果．

解答 解：向量$\overrightarrow{m}$=（a，btanA），$\overrightarrow{n}$=（b，atanB），$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，
知a²tanB=b²tanA，即a²sinBcosA=b²sinAcosB，
利用正弦定理化簡得：sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，
又A，B∈（0，π），0＜A+B＜π，
∴2A=2B，或2A+2B=π，即A=B或A+B=$\frac{π}{2}$，
則△ABC為等腰三角形或直角三角形；

點(diǎn)評 此題屬于解三角形的題型，涉及的知識(shí)有：平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，正弦定理，二倍角的正弦函數(shù)公式，以及正弦、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．