Question

已知向量

a

=（

3

，-2），

b

=（2sinxcosx，cos²x-

1

2

），函數(shù)f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）若f（x）=0，求x的值．
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由向量數(shù)量積的運(yùn)算和三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得f（x）=2sin（2x-

π

6

），由2x-

π

6

=kπ解方程可得；
（2）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

解不等式可得單調(diào)遞增區(qū)間和[0，π]取交集即可．

解答： 解：（1）∵

a

=（

3

，-2），

b

=（2sinxcosx，cos²x-

1

2

），
∴f(x)=

a

•

b

=2

3

sinxcosx-2（cos²x-

1

2

）
=

3

sin2x-cos2x=2（

3

2

sin2x-

1

2

cos2x）=2sin（2x-

π

6

），
由f（x）=0可得2x-

π

6

=kπ，解得x=

kπ

2

+

π

12

，k∈Z；
（2）由（1）知f（x）=2sin（2x-

π

6

），
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

可得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z
又∵x∈[0，π]，∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[0，

π

3

]，[

5π

6

，π]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)，涉及三角函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題．