Question

12．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，D是CC₁的中點(diǎn)，AC=BC，AB=AA₁，二面角D-AB-C的大小為60°．
（Ⅰ）若點(diǎn)E在線段AB上，且CE⊥BD，證明：BE=2EA；
（Ⅱ）求二面角A₁-BD-A的余弦值．

Answer 1

分析 （I）如圖所示，取AB的中點(diǎn)O，連接CO，DO，利用等腰三角形的性質(zhì)可得：CO⊥AB，取A₁B₁的中點(diǎn)O₁，連接OO₁，利用直棱柱的性質(zhì)可建立空間直角坐標(biāo)系，又AB⊥平面OCD，可得∠COD是二面角D-AB-C的平面角．不妨取CO=1，則OD=2，CD=$\sqrt{3}$．設(shè)E（0，t，0），利用$\overrightarrow{CE}⊥\overrightarrow{BD}$，可得$\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{BD}$=$-1-\sqrt{3}t$=0，解得t，即可證明BE=2EA．
（II）設(shè)平面ABD的法向量為：$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{m}$．同理可得：平面A₁BD的法向量$\overrightarrow{n}$．利用$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$，即可得出．

解答 （I）證明：如圖所示，
取AB的中點(diǎn)O，連接CO，DO，
∵AC=BC，∴CO⊥AB，
取A₁B₁的中點(diǎn)O₁，連接OO₁，
則OO₁⊥平面ABC，∴OO₁⊥AB，OO₁⊥CO．
建立空間直角坐標(biāo)系，
∵AB⊥平面OCD，∴∠COD是二面角D-AB-C的平面角，大小為60°．
不妨取CO=1，則OD=2，CD=$\sqrt{3}$．
∴AA₁=2$\sqrt{3}$=AB，因此OB=$\sqrt{3}$，∴AC=BC=2．
則A$（0，-\sqrt{3}，0）$，B$（0，\sqrt{3}，0）$，C（-1，0，0），O（0，0，0），D$（-1，0，\sqrt{3}）$，A₁$（0，-\sqrt{3}，2\sqrt{3}）$．
設(shè)E（0，t，0），$\overrightarrow{CE}$=（1，t，0），$\overrightarrow{BD}$=$（-1，-\sqrt{3}，\sqrt{3}）$，
∵$\overrightarrow{CE}⊥\overrightarrow{BD}$，∴$\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{BD}$=$-1-\sqrt{3}t$=0，解得t=$-\frac{1}{\sqrt{3}}$．
∴E$（0，-\frac{1}{\sqrt{3}}，0）$．
∴$BE=\sqrt{3}+\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，EA=$-\frac{\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴BE=2EA．
（II）解：$\overrightarrow{AB}$=$（0，2\sqrt{3}，0）$，$\overrightarrow{BD}$=$（-1，-\sqrt{3}，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=$（0，-2\sqrt{3}，2\sqrt{3}）$．
設(shè)平面ABD的法向量為：$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}y=0}\\{-x-\sqrt{3}y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，
可取$\overrightarrow{m}$=$（\sqrt{3}，0，1）$．
同理可得：平面A₁BD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（0，1，1）．
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{2×\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴二面角A₁-BD-A的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了通過建立空間直角坐標(biāo)系利用法向量求空間角、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．