Question

11．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠BCD=60°，AB=2AD，PD⊥平面ABCD，點(diǎn)M為PC上的點(diǎn)，且PM=2MC．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）若AB=PD=2，求三棱錐D-BPM的體積．

Answer 1

分析 （1）由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥AD，設(shè)AB=2AD=2a，再余弦定理證得AD⊥BD，可證AD⊥平面PBD，從而證得結(jié)論．
（2）過M作MF∥BC，交PB于F，證明MF⊥平面PBD，利用等體積法求得三棱錐D-BPM的體積．

解答 （1）證明：由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥AD，
△ABD中，設(shè)AB=2AD=2a，∵∠BAD=60°，
∴cos∠BAD=$\frac{4{a}^{2}+{a}^{2}-B{D}^{2}}{2•2a•a}$=$\frac{1}{2}$，∴BD=$\sqrt{3}$a，
∴AD²+BD²=AB²，
∴AD⊥BD．
∵PD∩BD=D，
∴AD⊥平面PBD，
∴AD⊥PB；
（2）解：過M作MF∥BC，交PB于F，
∵AD∥BC，
∴AD∥MF，
∵AD⊥平面PBD，
∴MF⊥平面PBD，
由（1）知，BD=$\sqrt{3}$，
∴S_△PBD=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×2$=$\sqrt{3}$
∵PM=2MC，
∴$\frac{PM}{PC}=\frac{MF}{BC}=\frac{2}{3}$，
∴MF=$\frac{2}{3}$BC=$\frac{2}{3}$
∴V_D-BPM=V_M-BPD=$\frac{1}{3}$•S_△PBD•MF=$\frac{1}{3}$π$\sqrt{3}$•$\frac{2}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查平面垂直的判定定理與性質(zhì)，用等體積法求體積，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合和等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．