Question

12．如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，AB=2，D，E分別為AC，BD的中點，連接AE并延長BC于F，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如圖2，所示，
（1）求證：AE⊥平面BCD；
（2）求平面AEF與平面ADC所成的銳角二面角的余弦值；
（3）在線段AF上是否存在點M使得EM∥平面ADC？若存在，請指出點M的位置；若存在，請指出點M的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出AE⊥BD于E，由此能證明AE⊥平面BCD．
（Ⅱ）以E為坐標(biāo)原點，分別以EF，ED，EA所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz，利用向量法能求出二面角的余弦值．
（Ⅲ）根據(jù)線面平行的判定定理，利用向量法建立共線共線，設(shè)$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AF}$，解方程即可．

解答 （Ⅰ）證明：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D為AC的中點，
∴AD=BD=DC，
又∠BAC=60°，
∴△ABD為等邊三角形，
∵E是BD的中點，∴AE⊥BD，
∵平面ABD⊥平面BCD，交線為BD，
又在△ABD中，AE⊥BD于E，AE?平面ABD
∴AE⊥平面BCD．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）結(jié)論AE⊥平面BCD，∴AE⊥EF．
由題意知EF⊥BD，又AE⊥BD．
如圖，以E為坐標(biāo)原點，分別以EF，ED，EA所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz，
由（Ⅰ）知AB=BD=DC=AD=2，BE=ED=1．
由圖1條件計算得則AE=$\sqrt{3}$，BC=2$\sqrt{3}$，EF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
則E（0，0，0），D（0，1，0），A（0，0，$\sqrt{3}$），F(xiàn)（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0，0），C（$\sqrt{3}$，2，0）．
則$\overrightarrow{DC}=（\sqrt{3}，1，0）$，$\overrightarrow{AD}=（0，1，-\sqrt{3}）$，
易知，平面AEF的一個法向量為$\overrightarrow{ED}$=（0，1，0）．
設(shè)平面ADC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x+y=0}\\{y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$
令z=1，得y=$\sqrt{3}$，x=-1，
即$\overrightarrow{n}$=（-1，$\sqrt{3}$，1），
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{ED}$＞=$\frac{\sqrt{3}}{1×\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
即平面AEF與平面ADC所成的銳角二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
（Ⅲ）解：設(shè)$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AF}$，其中λ∈[0，1]．
∵$\overrightarrow{AF}$=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0，-$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AF}$=λ（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0，-$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{EM}$=$\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AM}$=（$\frac{\sqrt{3}}{3}λ，0，（1-λ）\sqrt{3}$），
由$\overrightarrow{EM}•\overrightarrow{n}=0$，得$\frac{\sqrt{3}}{3}$$λ-（1-λ）\sqrt{3}=0$，
解得$λ=\frac{3}{4}$∈[0，1]．
∴在線段AF上是否存在點M使得EM∥平面ADC且AM：AF=3：4．

點評 本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查滿足條件的點是否存在的判斷，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用，綜合性較強，運算量較大．