Question

18．已知函數(shù)y=asinx+bcosx+c的圖象上有一個最低點（${\frac{11π}{6}$，1），如果圖象上每點縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的$\frac{3}{π}$倍，然后向左平移1個單位長度可以得到y(tǒng)=f（x）的圖象，則f（x）=（c-1）sin$\frac{π}{3}$x+c．

Answer 1

分析 先利用輔助角公式對函數(shù)化簡可得，y=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin（x+α）+c，由（${\frac{11π}{6}$，1）是圖象上的最低點可得$\frac{11π}{6}+α=2kπ-\frac{π}{2}（{k∈Z}）$，且$-\sqrt{{a^2}+{b^2}}+c=1$，進(jìn)而利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律可求函數(shù)解析式．

解答 解：y=asinx+bcosx+c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin（x+α）+c，其中α滿足tanα=$\frac{a}$，
由于：$（{\frac{11π}{6}，1}）$是圖象上的最低點，
所以：$\frac{11π}{6}+α=2kπ-\frac{π}{2}（{k∈Z}）$，且$-\sqrt{{a^2}+{b^2}}+c=1$．
則：$α=2kπ-\frac{7π}{3}$，且$\sqrt{{a^2}+{b^2}}=c-1$．
所以：$y=asinx+bcosx+c=（{c-1}）sin（{x+2kπ-\frac{7π}{3}}）+c=（{c-1}）sin（{x-\frac{π}{3}}）+c$，
將上述函數(shù)圖象上的點橫坐標(biāo)縮短到原來的$\frac{3}{π}$（縱坐標(biāo)不變），得$y=（{c-1}）sin（{\frac{π}{3}x-\frac{π}{3}}）+c$，
再向左平移1個單位，得$y=（{c-1}）sin[{\frac{π}{3}（{x+1}）-\frac{π}{3}}]+c=（{c-1}）sin\frac{π}{3}x+c$．
故答案為：（c-1）sin$\frac{π}{3}$x+c．

點評 本題主要考查了輔助角公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象變換，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律等知識的綜合運(yùn)用，要求考生具備一定的推理論證的能力，屬于中檔題．