Question

10．已知α，β為函數(shù)f（x）=x²-x-1的兩個(gè)零點(diǎn)，g（x）為二次函數(shù)，滿足g（α）=2β，g（β）=2α，g（1）=-1．若方程g（x）+2x=alnx（a＞0）有且只有一個(gè)實(shí)根x₀，且x₀∈（0，n），則整數(shù)n的最小值為2．

Answer 1

分析 求出g（x）的表達(dá)式，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為x²-x+1=alnx（a＞0）有且只有一個(gè)實(shí)根x₀，根據(jù)二次函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可．

解答 解：不妨設(shè)α＜β，
令f（x）=0，解得：α=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，β=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
設(shè)g（x）=ax²+bx+c，
由g（α）=2β，g（β）=2α，g（1）=-1，
得：$\left\{\begin{array}{l}{a（6-2\sqrt{5}）+2b（1-\sqrt{5}）+4c=4+4\sqrt{5}}\\{a（6+2\sqrt{5}）+2b（1+\sqrt{5}）+4c=4-4\sqrt{5}}\\{a+b+c=-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-3}\\{c=1}\end{array}\right.$，
∴g（x）=x²-3x+1，
∴方程g（x）+2x=alnx（a＞0）有且只有一個(gè)實(shí)根x₀，
即x²-x+1=alnx（a＞0）有且只有一個(gè)實(shí)根x₀，
顯然y=x²-x+1的最小值是$\frac{3}{4}$，而y=alnx＜0在（0，1）恒成立，
若x₀∈（0，n），則整數(shù)n的最小值為2，x₀∈（1，2），
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式問(wèn)題，考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．