Question

3．下列命題：
①函數(shù)y=$\frac{x-1}{x+1}$的單調(diào)區(qū)間是（-∞，-1）∪（-1，+∞）．
②函數(shù)y=2sin（2x-$\frac{π}{4}$）的一個單調(diào)遞增區(qū)間是$[-\frac{π}{8}，\frac{3π}{8}]$；
③函數(shù)$f（x）=sin（2x+\frac{π}{3}）$圖象關于直線$x=\frac{π}{3}$對稱．
④已知函數(shù)f（x）=e^x-mx+1的圖象為曲線C，若曲線C存在與直線y=$\frac{1}{2}x$垂直的切線，則實數(shù)m的取值范圍是m＞2．
其中正確命題的序號為②④．

Answer 1

分析 ①函數(shù)y=$\frac{x-1}{x+1}$，只討論在（-∞，-1）和（-1，+∞）的單調(diào)性；
②③根據(jù)三角形函數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷；
④求出曲線C：f（x）的導數(shù)，即C的切線斜率，因與直線y=$\frac{1}{2}$x垂直，可得m的取值范圍．

解答 解：對于①函數(shù)y=$\frac{x-1}{x+1}$=1-$\frac{2}{x+1}$在區(qū)間（-∞，-1）和（-1，+∞）都是增函數(shù)，但在（-∞，-1）∪（-1，+∞）上不是增函數(shù)．故①錯誤；
對于②函數(shù)y=2sin（2x-$\frac{π}{4}$）的單調(diào)遞增，-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，即-$\frac{π}{8}$+kπ≤x≤kπ+$\frac{3π}{8}$，當k=0時，即為，即-$\frac{π}{8}$≤x≤$\frac{3π}{8}$，故②正確；
對于③函數(shù)$f（x）=sin（2x+\frac{π}{3}）$圖象的對稱軸為2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，當k=1收，x=$\frac{7π}{12}$，當k=0時，x=$\frac{7π}{12}$，故③錯誤；
對于④∵曲線C的方程：f（x）=e^x-mx+1，∴f′（x）=e^x-m，由曲線C的切線與直線y=$\frac{1}{2}$x垂直，得（e^x-m）•$\frac{1}{2}$=-1，∴m=e^x+2＞2，故④正確；
故答案為：②④．

點評 本題通過命題真假的判定，考查了函數(shù)的單調(diào)性，三角函數(shù)的性質(zhì)，導數(shù)知識的應用，是容易出錯的題目，屬于中檔題．