Question

4．已知F₁，F(xiàn)₂是雙曲線$\frac{x^2}{9}$-$\frac{y^2}{4}$=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線右支上的一點(diǎn)，求△F₁PF₂的內(nèi)切圓與邊F₁F₂的切點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 將內(nèi)切圓的圓心坐標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化成圓與橫軸切點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，由圓的切線性質(zhì)|PF₁-PF₂|=|F_IM-F₂Q|=|F₁N-F₂N|=6，由于F₁N+F₂N=F₁F₂=2c，即可解出ON．

解答 解：雙曲線$\frac{x^2}{9}$-$\frac{y^2}{4}$=1的a=3，b=2，c=$\sqrt{13}$．
設(shè)△PF₁F₂的內(nèi)切圓與邊F₁F₂的切點(diǎn)N，與邊PF₁的切點(diǎn)為M，與邊PF₂上的切點(diǎn)為Q，
則△PF₁F₂的內(nèi)切圓的圓心的橫坐標(biāo)與N的橫坐標(biāo)相同．
由雙曲線的定義，PF₁-PF₂=2a=6．
由圓的切線性質(zhì)PF₁-PF₂=F_IM-F₂Q=F₁N-F₂N=6，
∵F₁N+F₂N=F₁F₂=2c=2$\sqrt{13}$，
∴F₂N=3+$\sqrt{13}$，ON=3，
即N的橫坐標(biāo)為3．
故切點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和定義及性質(zhì)，巧妙地借助于圓的切線的性質(zhì)，屬于中檔題．