Question

15．如圖，AB和CD是兩條異面直線，AB=CD=3，E，F(xiàn)分別為線段AD，BC上的點(diǎn)，且$\frac{AE}{ED}$=$\frac{BF}{FC}$=$\frac{1}{2}$，EF=$\sqrt{7}$，求AB和CD所成的角．

Answer 1

分析 可作EG∥AB，并交BD于G，并連接GF，根據(jù)條件即可說明EG∥AB，GF∥CD，從而便得到異面直線AB與CD所成角為∠EGF或其補(bǔ)角，并且可以根據(jù)比例關(guān)系求出EG，GF，這樣在△EFG中根據(jù)余弦定理即可得出cos∠EGF，從而得出該角，這樣便能得到AB和CD所成角．

解答 解：如圖，作EG∥AB，交BD于G，并連接GF，則：
∵$\frac{AE}{ED}=\frac{1}{2}$；
∴$\frac{BG}{GD}=\frac{1}{2}$；
又$\frac{BF}{FC}=\frac{1}{2}$；
∴GF∥CD；
∴∠EGF或其補(bǔ)角便是異面直線AB和CD所成的角；
根據(jù)前面，$\frac{EG}{AB}=\frac{DE}{AD}=\frac{2}{3}$，$\frac{GF}{CD}=\frac{BF}{BC}=\frac{1}{3}$，且AB=CD=3；
∴EG=2，GF=1，又EF=$\sqrt{7}$；
∴在△EFG中，由余弦定理得：cos$∠EGF=\frac{E{G}^{2}+G{F}^{2}-E{F}^{2}}{2EG•GF}=\frac{4+1-7}{4}=-\frac{1}{2}$；
∴∠EGF=120°；
∴AB和CD所成的角為60°．

點(diǎn)評(píng) 考查平行線分線段成比例定理，平行線的判定，以及異面直線所成角的定義及求法，余弦定理求三角形的內(nèi)角．