Question

9．如圖，已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點F與拋物線y²=4x的焦點重合，D（1，$\frac{3}{2}$）是橢圓上一點，橢圓左頂點為C，過F的直線與橢圓交于A、B兩點，直線CA、CB與直線1：x=4交于點M、N．
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{FN}$的值．

Answer 1

分析 （I）一方面通過拋物線y²=4x的焦點F（1，0）可知a²-b²=1，另一方面通過將點D（1，$\frac{3}{2}$）代入橢圓方程可知$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{4^{2}}$=1，聯(lián)立計算可知a²=4、b²=3，進而計算可得結(jié)論；
（Ⅱ）通過（I）可知C（-2，0），顯然直線AB的斜率不為零，分直線AB的斜率不存在與存在兩種情況討論，①當(dāng)直線AB的斜率不存在時可知直線AB方程為x=1，從而A（1，$\frac{3}{2}$）、B（1，-$\frac{3}{2}$），計算即得結(jié)論；②當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB方程為：y=k（x-1）、A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），進而在直線CA：y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$（x+2）、直線CB：y=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$（x+2）令x=4可知M（4，6•$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$）、N（4，6•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$），通過聯(lián)立直線AB與橢圓方程、利用韋達定理可知x₁+x₂、x₁x₂，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可知$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{FN}$=0．

解答 解：（I）∵拋物線y²=4x的焦點F（1，0），
∴a²-b²=1，①
又∵D（1，$\frac{3}{2}$）是橢圓上一點，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{4^{2}}$=1，②
聯(lián)立①②可知：a²=4，b²=3，
∴所求橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）由（I）可知C（-2，0），顯然直線AB的斜率不為零，
①當(dāng)直線AB的斜率不存在時，即直線AB方程為：x=1，
易知A（1，$\frac{3}{2}$），B（1，-$\frac{3}{2}$），
∴直線CA：y=$\frac{\frac{3}{2}-0}{1+2}$（x+2），直線CB：y=$\frac{-\frac{3}{2}-0}{1+2}$（x+2），
即直線CA：y=$\frac{1}{2}$（x+2），直線CB：y=-$\frac{1}{2}$（x+2），
分別在上述兩個方程中令x=4可知：M（4，3）、N（4，-3），
∴$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{FN}$=（4-1，3-0）•（4-1，-3-0）
=（3，3）•（3，-3）
=0；
②當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB方程為：y=k（x-1），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y_i=k（x_i-1）、$\frac{{{x}_{i}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{i}}^{2}}{3}=1$（其中i=1、2），
∴直線CA：y=$\frac{{y}_{1}-0}{{x}_{1}+2}$（x+2），直線CB：y=$\frac{{y}_{2}-0}{{x}_{2}+2}$（x+2），
即直線CA：y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$（x+2），直線CB：y=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$（x+2），
分別在上述兩個方程中令x=4可知：M（4，6•$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$）、N（4，6•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-k}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}-12=0}\end{array}\right.$，消去y整理得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{FN}$=（4-1，6•$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$-0）•（4-1，6•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$-0）
=9+36•$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$
=9+36•$\frac{{k}^{2}[{x}_{1}{x}_{2}-（{x}_{1}+{x}_{2}）+1]}{{x}_{1}{x}_{2}+2（{x}_{1}+{x}_{2}）+4}$
=9+36k²•$\frac{\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}-\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}+1}{\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}+2•\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}+4}$
=9+36k²•$\frac{4{k}^{2}-12-8{k}^{2}+3+4{k}^{2}}{4{k}^{2}-12+16{k}^{2}+12+16{k}^{2}}$
=9+36k²•$\frac{-9}{36{k}^{2}}$
=0；
綜上所述，$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{FN}$=0．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于難題．