Question

【題目】已知橢圓．

（1）若過點(diǎn)的直線l與橢圓C恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）若存在以點(diǎn)B（0，2）為圓心的圓與橢圓C有四個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)．(2)．

【解析】

（1）點(diǎn)在橢圓上或橢圓內(nèi)，解不等式即得；

（2）要使得圓和橢圓有四個(gè)公共點(diǎn)，利用對(duì)稱性，考慮到在軸上，只要在橢圓的左半邊（或右半邊）存在不同兩點(diǎn)到B點(diǎn)的距離相等，設(shè)動(dòng)點(diǎn)Q（x0，y0）在橢圓上，，

令，只要f（y0）在y0∈（﹣1，1）上不單調(diào)即可．

（1）要使得直線l與橢圓C恒有公共點(diǎn)，則點(diǎn)要在橢圓上或者橢圓內(nèi)，

∴，∴．

（2）法一：要使得圓和橢圓有四個(gè)公共點(diǎn)，利用對(duì)稱性，

所以在橢圓的左半邊（或右半邊）存在不同兩點(diǎn)到B點(diǎn)的距離相等，

設(shè)動(dòng)點(diǎn)Q（x0，y0）在橢圓上，，

令，使得f（y0）在y0∈（﹣1，1）上不單調(diào)，

∴，

∴．

法二：設(shè)圓B：x2+（y﹣2）2＝r2，，

整理得：（1﹣a2）y2﹣4y+a2+4﹣r2＝0，

所以存在r，使得方程（1﹣a2）y2﹣4y+a2+4﹣r2＝0在（﹣1，1）上有兩解，

令函數(shù)f（y）＝（1﹣a2）y2﹣4y+a2+4﹣r2，對(duì)稱軸，

只需即可，

∴．