Question

16．已知sinθ+cosθ=$\frac{1}{5}$，雙曲線x²sinθ+y²cosθ=1的焦點在y軸上，則雙曲線C的離心率e=$\frac{\sqrt{21}}{3}$．

Answer 1

分析 由同角的平方關(guān)系，結(jié)合雙曲線的焦點在y軸上，可得cosθ=$\frac{4}{5}$，sinθ=-$\frac{3}{5}$，求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及a，b，c，由離心率公式，計算即可得到．

解答 解：由sinθ+cosθ=$\frac{1}{5}$，sin²θ+cos²θ=1，
可得sinθ=$\frac{4}{5}$，cosθ=-$\frac{3}{5}$或cosθ=$\frac{4}{5}$，sinθ=-$\frac{3}{5}$，
由雙曲線x²sinθ+y²cosθ=1的焦點在y軸上，
取cosθ=$\frac{4}{5}$，sinθ=-$\frac{3}{5}$，
可得$\frac{{y}^{2}}{\frac{5}{4}}$-$\frac{{x}^{2}}{\frac{5}{3}}$=1，
即有a²=$\frac{5}{4}$，b²=$\frac{5}{3}$，c²=$\frac{35}{12}$，
則離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{35}{12}×\frac{4}{5}}$=$\frac{\sqrt{21}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{21}}{3}$．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查離心率的求法，同時考查同角的平方關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．