Question

18．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，y），$\overrightarrow$=（1，-3），且滿足（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow$．
（1）求向量$\overrightarrow{a}$的坐標(biāo)；
（2）求向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角．

Answer 1

分析 （1）由條件利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)、兩個(gè)向量的數(shù)量積公式求得y的值，可得向量$\overrightarrow{a}$的坐標(biāo)．
（2）設(shè)向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為θ，求得cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$ 的值，可得θ的值．

解答 解：（1）∵已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，y），$\overrightarrow$=（1，-3），且滿足（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow$，
∴（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow$=2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$=2（1-3y）+10=0，求得y=2，可得向量$\overrightarrow{a}$=（1，2）．
（2）平面內(nèi)向量夾角的θ的取值范圍是θ∈[0，π]．
設(shè)向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為θ，
∵cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$=$\frac{1-6}{\sqrt{5}•\sqrt{10}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴θ=$\frac{3π}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．