Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=axⁿ-lnx-1（n∈N^*，n≥2，a＞1）．
（Ⅰ）若a=2，n=2，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）存在兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂；
（i）求a的取值范圍；
（ii）求證：x₁x₂＞e${\;}^{\frac{2}{n}-2}$（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若a=2，n=2，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的極值和函數(shù)零點(diǎn)關(guān)系進(jìn)行判斷，利用分析法，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)證明不等式．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=2，n=2時(shí)，f（x）=2x²-lnx-1，
f′（x）=4x-$\frac{1}{x}$=$\frac{4（x+\frac{1}{2}）（x-\frac{1}{2}）}{x}$；
∵x＞0，
當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{2}$）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（$\frac{1}{2}$，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
∴f（x）在x=$\frac{1}{2}$時(shí)有極小值f（$\frac{1}{2}$）=2（$\frac{1}{2}$）²-ln$\frac{1}{2}$-1=ln2-$\frac{1}{2}$；沒有極大值；
（Ⅱ）（i）由題意知，x₁，x₂＞0，
f′（x）=nax^n-1-$\frac{1}{x}$=$\frac{na{（x}^{n}-\frac{1}{na}）}{x}$，
當(dāng)x∈（0，$\root{n}{\frac{1}{na}}$）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)∈（$\root{n}{\frac{1}{na}}$，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
∴要有2個(gè)零點(diǎn)，則在x=$\root{n}{\frac{1}{na}}$處的值要小于零，
即f（$\root{n}{\frac{1}{na}}$）=n（$\root{n}{\frac{1}{na}}$）ⁿ-ln$\root{n}{\frac{1}{na}}$-1=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n}$ln$\frac{1}{na}$-1=$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n}$lnna-1＜0；
故lnna＜n-1；
即na＜e^n-1；
故a＜$\frac{{e}^{n-1}}{n}$；
設(shè)H（x）=$\frac{{e}^{x-1}}{x}$，（x＞2），
則H′（x）=$\frac{{e}^{x-1}（x-1）}{{x}^{2}}＞0$恒成立，即H（x）在（2，+∞）上是增函數(shù)，
故H（x）的最小值為H（2）=$\frac{e}{2}$，
即1＜a＜$\frac{e}{2}$，
故a的取值范圍為（1，$\frac{e}{2}$）；
（ii）不妨設(shè)x₁＞x₂，
由題意得$\left\{\begin{array}{l}{a{{x}_{1}}^{2}-ln{x}_{1}=1①}\\{a{{x}_{2}}^{2}-ln{x}_{2}=1②}\end{array}\right.$，
①-②得a（x₁ⁿ-x₂ⁿ）=lnx₁-lnx₂，
①+②得a（x₁ⁿ+x₂ⁿ）=ln（x₁x₂）+2
∴消去參數(shù)a得ln（x₁x₂）+2=$\frac{（ln{x}_{1}-ln{x}_{2}）（{{x}_{1}}^{n}+{{x}_{2}}^{n}）}{{{x}_{1}}^{n}-{{x}_{2}}^{n}}$，
設(shè)t=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞1，
則ln（x₁x₂）=（lnt）$•\frac{{t}^{n}+1}{{t}^{n}-1}-2$，
欲證明x₁x₂＞e${\;}^{\frac{2}{n}-2}$，則只需要證明ln（x₁x₂）$＞\frac{2}{n}-2$，
即證（lnt）$•\frac{{t}^{n}+1}{{t}^{n}-1}-2$$＞\frac{2}{n}-2$，
即（lnt）$•\frac{{t}^{n}+1}{{t}^{n}-1}$＞$\frac{2}{n}$，即lnt＞$\frac{2}{n}$•$\frac{{t}^{n}-1}{{t}^{n}+1}$，
設(shè)g（t）=lnt-$\frac{2}{n}$•$\frac{{t}^{n}-1}{{t}^{n}+1}$，（t＞1），
則g′（t）=$\frac{1}{t}-\frac{2}{t}•\frac{2n{t}^{n-1}}{（{t}^{n}+1）^{2}}$=$\frac{（{t}^{n}+1）^{2}-4{t}^{n}}{t（{t}^{n}+1）^{2}}$=$\frac{（{t}^{n}-1）^{2}}{t（{t}^{n}+1）^{2}}$＞0，
∴g（t）在（1，+∞）上遞增，
∴g（t）＞g（1）=0，
∴l(xiāng)nt＞$\frac{2}{n}$•$\frac{{t}^{n}-1}{{t}^{n}+1}$，
∴（lnt）$•\frac{{t}^{n}+1}{{t}^{n}-1}$＞$\frac{2}{n}$
∵（lnt）$•\frac{{t}^{n}+1}{{t}^{n}-1}$＞$\frac{2}{n}$，
∴x₁x₂＞e${\;}^{\frac{2}{n}-2}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的極值和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，綜合性較強(qiáng)，難度較大．