Question

16．（1）已知橢圓的中心為坐標原點，且與雙曲線y²-3x²=3有相同的焦點，橢圓的離心率e=$\frac{1}{2}$，求橢圓的標準方程；
（2）已知橢圓$\frac{x^2}{m}$+$\frac{y^2}{3}$=1的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用雙曲線的性質求得c，再根據(jù)橢圓的離心率e=$\frac{1}{2}$，求得a的值，從而得到b的值，從而求得要求的橢圓的標準方程．
（2）由題意可得$\frac{\sqrt{m-3}}{\sqrt{m}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 或 $\frac{\sqrt{3-m}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由此求得m的值．

解答 解：（1）雙曲線y²-3x²=3，即 $\frac{{y}^{2}}{3}$-x²=1，它的焦點為（0，±2）．
由題意可得c=2，$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，∴a=4，b²=a²-c²=12，∴要求的橢圓的標準方程為 $\frac{y^2}{16}+\frac{x^2}{12}=1$．
（2）由于已知橢圓$\frac{x^2}{m}$+$\frac{y^2}{3}$=1的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴$\frac{\sqrt{m-3}}{\sqrt{m}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 或 $\frac{\sqrt{3-m}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
求得m=12，或$m=\frac{3}{4}$．

點評 本題主要考查橢圓的定義、標準方程，以及簡單性質的應用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．