Question

為了保障幼兒園兒童的人身安全，國家計劃在甲、乙兩省試行政府規(guī)范購置校車方案，計劃若干時間內(nèi)（以月為單位）在兩省共新購1000輛校車．其中甲省采取的新購方案是：本月新購校車10輛，以后每月的新購量比上一月增加50%；乙省采取的新購方案是：本月新購校車40輛，計劃以后每月比上一月多新購m輛．
（1）求經(jīng)過n個月，兩省新購校車的總數(shù)S（n）；
（2）若兩省計劃在3個月內(nèi)完成新購目標，求m的最小值．

Answer 1

考點：數(shù)列的應用

專題：應用題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)a_n，b_n分別為甲省，乙省在第n月新購校車的數(shù)量．依題意，{a_n}是首項為10，公比為1+50%=

3

2

的等比數(shù)列；{b_n}是首項為40，公差為m的等差數(shù)列，求出相應數(shù)列的和，即可求經(jīng)過n個月，兩省新購校車的總數(shù)S（n）；
（2）若計劃在3個月內(nèi)完成新購目標，則S（3）≥1000，可得不等式，解不等式，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)a_n，b_n分別為甲省，乙省在第n月新購校車的數(shù)量．
依題意，{a_n}是首項為10，公比為1+50%=

3

2

的等比數(shù)列；{b_n}是首項為40，公差為m的等差數(shù)列．
{a_n}的前n項和A_n=

10[1-( 3 2 )n]

1- 3 2

，{b_n}的前n項和B_n=

n[40+40+(n-1)m]

2

=40n+

n(n-1)m

2

．
所以經(jīng)過n個月，兩省新購校車的總數(shù)為S（n）=A_n+B_n=

10[1-( 3 2 )n]

1- 3 2

+40n+

n(n-1)m

2

=20[（

3

2

）ⁿ-1]+40n+

n(n-1)m

2

=20•（

3

2

）ⁿ+

m

2

n²+（40-

m

2

）n-20．（8分）
（2）若計劃在3個月內(nèi)完成新購目標，則S（3）≥1000，
所以S（3）=20（

3

2

）³+

m

2

×3²+（40-

m

2

）×3-20≥1000，解得m≥277.5．
又m∈N^*，所以m的最小值為278．（13分）

點評：本題考查數(shù)列的運用，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和，考查學生的計算能力，確定數(shù)列是等差數(shù)列、等比數(shù)列是關(guān)鍵．