Question

已知函數(shù)，，其中

（Ⅰ）若函數(shù)有極值，求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）證明：

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）證明見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得其極小值；（Ⅱ）關(guān)于恒成立問(wèn)題即求大于或等于函數(shù)的最大值，進(jìn)而求得的取值范圍；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，構(gòu)造新函數(shù)，令，進(jìn)而得到利用對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算率得到：.

試題解析：（Ⅰ）

①當(dāng)時(shí)，，遞減，無(wú)極值；

②當(dāng)時(shí)，令，得，遞增，

4分

（Ⅱ）上是增函數(shù)，

恒成立，

，時(shí)，恒成立，

當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，

設(shè)遞增，，

故的取值范圍是 9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，上是增函數(shù)，

，

令，則，

，

故 14分

考點(diǎn)：1.利用求導(dǎo)求單調(diào)性；2.恒成立問(wèn)題；3.構(gòu)造法.