Question

10．已知函數(shù)f（x）=x-lnx+a-1，g（x）=$\frac{x^2}{2}$+ax-xlnx，其中a＞0．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)x≥1時(shí)，g（x）的最小值大于$\frac{3}{2}$-lna，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)求解函數(shù)的單調(diào)性．
（2）利用g'（x）=x-lnx+a-1=f（x）．結(jié)合（1）知，判斷g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，求出g（x）的最小值，推出a+lna-1＞0，令h（a）=lna+a-1，利用h（a）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．求解a的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）． （1分），
$f'（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$．（2分）
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＞0．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1），單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞）．（4分）
（2）易知g'（x）=x-lnx+a-1=f（x）．
由（1）知，f（x）≥f（1）=a＞0，
所以當(dāng)x≥1時(shí)，g'（x）≥g'（1）=a＞0．
從而g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，（5分）
所以g（x）的最小值$g（1）=a+\frac{1}{2}$．（6分）
依題意得$a+\frac{1}{2}$$＞\frac{3}{2}-lna$，即a+lna-1＞0．（7分）
令h（a）=lna+a-1，易知h（a）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
所以h（a）＞h（1）=0，所以a的取值范圍是（1，+∞）．（8分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．