Question

20．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知acos²$\frac{C}{2}$+ccos²$\frac{A}{2}$=$\frac{3}{2}$b．
（1）求證：a，b，c成等差數(shù)列；
（2）若b=2$\sqrt{2}$，B=$\frac{π}{3}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用正弦定理化簡，再利用二倍角的余弦函數(shù)公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式變形，整理后再利用正弦定理化簡，利用等差數(shù)列的性質(zhì)判斷即可得證；
（2）利用三角形面積公式進(jìn)行解答．

解答 （1）證明：∵$a{cos^2}\frac{C}{2}+c{cos^2}\frac{A}{2}=\frac{3}{2}b$，∴$a•\frac{1+cosC}{2}+c•\frac{1+cosA}{2}=\frac{3}{2}b$
由正弦定理得，$sinA•\frac{1+cosC}{2}+sinC•\frac{1+cosA}{2}=\frac{3}{2}sinB$…（2分）
化簡得，sinA+sinC+sinAcosC+sinCcosA=3sinB，
∴sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，
∵sin（A+C）=sinB，
∴sinA+sinC=2sinB，
由正弦定理化簡得：a+c=2b，
∴a，b，c成等差數(shù)列；
（2）由（1）得：a+c=2b，
∵b=2$\sqrt{2}$，B=$\frac{π}{3}$，a+c=2b，
∴b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac=（2b）²-3ac，
∴ac=b²=8，
∴S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$×8×sin$\frac{π}{3}$=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$．即△ABC的面積是2$\sqrt{3}$．

點評 此題考查了正弦、余弦定理，二倍角的余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，等差數(shù)列的性質(zhì)，以及三角形面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．