Question

12．已知三向量$\overrightarrow{a}$=-$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$+2$\overrightarrow{{e}_{3}}$，$\overrightarrow$=4$\overrightarrow{{e}_{1}}$-6$\overrightarrow{{e}_{2}}$+2$\overrightarrow{{e}_{3}}$．$\overrightarrow{c}$=-3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+12$\overrightarrow{{e}_{2}}$+11$\overrightarrow{{e}_{3}}$．問$\overrightarrow{a}$能否表示成$\overrightarrow{a}$=λ₁$\overrightarrow$+λ₂$\overrightarrow{c}$的形式？如能，寫出表達(dá)式，若不能，說明理由．

Answer 1

分析 可假設(shè)$\overrightarrow{a}={λ}_{1}\overrightarrow+{λ}_{2}\overrightarrow{c}$，帶入向量$\overrightarrow，\overrightarrow{c}$，進(jìn)行向量的加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算便可得到：$\overrightarrow{a}=（4{λ}_{1}-3{λ}_{2}）\overrightarrow{{e}_{1}}$$+（12{λ}_{2}-6{λ}_{1}）\overrightarrow{{e}_{2}}$$+（2{λ}_{1}+11{λ}_{2}）\overrightarrow{{e}_{3}}$，從而可以得到關(guān)于λ₁，λ₂的方程組，解方程組即可判斷$\overrightarrow{a}$能否表示成$\overrightarrow{a}={λ}_{1}\overrightarrow+{λ}_{2}\overrightarrow{c}$的形式．

解答 解：假設(shè)$\overrightarrow{a}={λ}_{1}\overrightarrow+{λ}_{2}\overrightarrow{c}$=${λ}_{1}（4\overrightarrow{{e}_{1}}-6\overrightarrow{{e}_{2}}+2\overrightarrow{{e}_{3}}）$$+{λ}_{2}（-3\overrightarrow{{e}_{1}}+12\overrightarrow{{e}_{2}}+11\overrightarrow{{e}_{3}}）$=$（4{λ}_{1}-3{λ}_{2}）\overrightarrow{{e}_{1}}+（12{λ}_{2}-6{λ}_{1}）\overrightarrow{{e}_{2}}$$+（2{λ}_{1}+11{λ}_{2}）\overrightarrow{{e}_{3}}$；
又$\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{{e}_{1}}+3\overrightarrow{{e}_{2}}+2\overrightarrow{{e}_{3}}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{4{λ}_{1}-3{λ}_{2}=-1}\\{12{λ}_{2}-6{λ}_{1}=3}\\{2{λ}_{1}+11{λ}_{2}=2}\end{array}\right.$；
${λ}_{1}=\frac{1}{5}，{λ}_{2}=-\frac{1}{10}$；
∴$\overrightarrow{a}=\frac{1}{5}\overrightarrow-\frac{1}{10}\overrightarrow{c}$．

點評 考查向量的加法、減法，及數(shù)乘運(yùn)算，以及平面向量基本定理．