Question

7．如圖，在△ABC中，$\overrightarrow{AE}$=2$\overrightarrow{EB}$，$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{FC}$，連結(jié)BF，CE相交于點(diǎn)M，且$\overrightarrow{AM}$=x$\overrightarrow{AE}$+y$\overrightarrow{AF}$，則x-y等于$-\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 由E，M，C三點(diǎn)共線可得到$\overrightarrow{EM}=λ\overrightarrow{EC}$，進(jìn)一步得到$\overrightarrow{AM}=（1-λ）\overrightarrow{AE}+\frac{4}{3}λ\overrightarrow{AF}$，而同理可根據(jù)B，M，F(xiàn)三點(diǎn)共線可得到$\overrightarrow{AM}=\frac{3}{2}μ\overrightarrow{AE}+（1-μ）\overrightarrow{AF}$．從而由平面向量基本定理得到$\left\{\begin{array}{l}{1-λ=\frac{3}{2}μ}\\{\frac{4}{3}λ=1-μ}\end{array}\right.$，解出λ，μ，便可求出x，y，從而得出x-y的值．

解答 解：E，M，C三點(diǎn)共線；
∴$\overrightarrow{EM}=λ\overrightarrow{EC}$；
∴$\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AE}=λ（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AE}）$；
∴$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AC}+（1-λ）\overrightarrow{AE}$=$（1-λ）\overrightarrow{AE}+\frac{4}{3}λ\overrightarrow{AF}$；
同理，根據(jù)B，M，F(xiàn)三點(diǎn)共線可得到：$\overrightarrow{AM}=μ\overrightarrow{AB}+（1-μ）\overrightarrow{AF}=\frac{3}{2}μ\overrightarrow{AE}+$$（1-μ）\overrightarrow{AF}$；
∴根據(jù)平面向量基本定理得：$\left\{\begin{array}{l}{1-λ=\frac{3}{2}μ}\\{\frac{4}{3}λ=1-μ}\end{array}\right.$；
解$λ=\frac{1}{2}，μ=\frac{1}{3}$；
∴$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AE}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AF}$；
∴$x=\frac{1}{2}，y=\frac{2}{3}$；
∴$x-y=-\frac{1}{6}$．
故答案為：$-\frac{1}{6}$．

點(diǎn)評 考查共線向量基本定理，及平面向量基本定理，向量減法的幾何意義，以及向量的數(shù)乘運(yùn)算．