Question

5．為了探究某市高中理科生在高考志愿中報(bào)考“經(jīng)濟(jì)類”專業(yè)是否與性別有關(guān)，現(xiàn)從該市高三理科生中隨機(jī)抽取50各學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到如下2×2列聯(lián)表：（單位：人）．

	報(bào)考“經(jīng)濟(jì)類”	不報(bào)“經(jīng)濟(jì)類”	合計(jì)
男	6	24	30
女	14	6	20
合計(jì)	20	30	50

（Ⅰ）據(jù)此樣本，能否有99%的把握認(rèn)為理科生報(bào)考“經(jīng)濟(jì)類”專業(yè)與性別有關(guān)？
（Ⅱ）若以樣本中各事件的頻率作為概率估計(jì)全市總體考生的報(bào)考情況，現(xiàn)從該市的全體考生（人數(shù)眾多）中隨機(jī)抽取3人，設(shè)3人中報(bào)考“經(jīng)濟(jì)類”專業(yè)的人數(shù)為隨機(jī)變量X，求隨機(jī)變量X的概率分布及數(shù)學(xué)期望．
附：參考數(shù)據(jù)：

P（X2≥k）	0.05	0.010
k	3.841	6.635

（參考公式：X²=$\frac{n（{n}_{11}{n}_{22}-{n}_{12}{n}_{21}）^{2}}{{n}_{1+}{n}_{2+}{n}_{+1}{n}_{+2}}$）

Answer 1

分析 （I）計(jì)算K²，根據(jù)臨界值表作出結(jié)論；
（II）分別計(jì)算X=0，1，2，3時(shí)的概率得出分布列，根據(jù)分布列得出數(shù)學(xué)期望和方差．

解答 解：（Ⅰ）${Χ^2}=\frac{{50×{{（36-336）}^2}}}{30×20×20×30}=\frac{{50×{{300}^2}}}{30×20×20×30}=\frac{25}{2}=12.5＞6.635$…（2分）
∴有99%的把握認(rèn)為理科生愿意報(bào)考“經(jīng)濟(jì)類”專業(yè)與性別有關(guān)…（4分）
（Ⅱ）估計(jì)該市的全體考生中任一人報(bào)考“經(jīng)濟(jì)類”專業(yè)的概率為$p=\frac{20}{50}=\frac{2}{5}$…（6分）
X的可能取值為0，1，2，3，由題意，得X～B（3，$\frac{2}{5}$），$P（X=k）=C_3^k{（\frac{2}{5}）^k}{（\frac{3}{5}）^{3-k}}，（k=0，1，2，3）$
∴隨機(jī)變量X的分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

…（10分）
∴隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望$E（X）=\frac{6}{5}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、方差的求法，是中檔題．