Question

11．（1）已知sinα+2cosα=0，求sin2α+cos2α的值；
（2）已知tanα+cotα=$\frac{5}{2}$，α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），求cos2α和sin（2α+$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得要求式子的值．
（2）由條件利用二倍角公式求得sin2α的值，可得cos2α的值，再利用兩角和的正弦公式求得sin（2α+$\frac{π}{4}$）的值．

解答 解：（1）∵sinα+2cosα=0，∴tanα=-2，
∴sin2α+cos2α=$\frac{2sinαcosα{+cos}^{2}α{-sin}^{2}α}{{sin}^{2}α{+cos}^{2}α}$=$\frac{2tanα+1{-tan}^{2}α}{{tan}^{2}α+1}$=$\frac{-4+1-4}{4+1}$=-$\frac{7}{5}$．
（2）∵tanα+cotα=$\frac{1}{sinαcosα}$=$\frac{5}{2}$，α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），∴sinαcosα=$\frac{2}{5}$，2α∈（$\frac{π}{2}$，π），
∴sin2α=2sinαcosα=$\frac{4}{5}$，cos2α=-$\sqrt{{1-sin}^{2}2α}$=-$\frac{3}{5}$，
∴sin（2α+$\frac{π}{4}$）=sin2αcos$\frac{π}{4}$+cos2αsin$\frac{π}{4}$=$\frac{4}{5}•\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{3}{5}•\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式，兩角和的正弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．