Question

16．已知數(shù)列{C_n}，其中C_n=2ⁿ+3ⁿ．
（1）數(shù)列{C_n}是否為等比數(shù)列？證明你的結(jié)論；
（2）若{C_n+1-pC_n}為等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)p．

Answer 1

分析 （1）數(shù)列{C_n}不為等比數(shù)列．利用等比數(shù)列的定義直接證明即可．
（2）由{C_n+1-pC_n}為等比數(shù)列，得[2ⁿ⁺²+3ⁿ⁺²-p×2ⁿ⁺¹-p×3ⁿ⁺¹]÷[2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹-p×2ⁿ-p×3ⁿ]=k，由此能求出常數(shù)p的值．

解答 解：（1）數(shù)列{C_n}不為等比數(shù)列．
證明如下：
∵數(shù)列{C_n}，其中C_n=2ⁿ+3ⁿ，
∴$\frac{{C}_{n+1}}{{C}_{n}}$=$\frac{{2}^{n+1}+{3}^{n+1}}{{2}^{n}+{3}^{n}}$=$\frac{2•{2}^{n}+3•{3}^{n}}{{2}^{n}+{3}^{n}}$，不是常數(shù)，
∴數(shù)列{C_n}不為等比數(shù)列．
（2）∵{C_n+1-pC_n}為等比數(shù)列，
∴$\frac{{C}_{n+2}-p{C}_{n+1}}{{C}_{n+1}-P{C}_{n}}$=$\frac{{2}^{n+2}+{3}^{n+2}-P•（{2}^{n+1}+{3}^{n+1}）}{{2}^{n+1}+{3}^{n+1}-P（{2}^{n}+{3}^{n}）}$=k k為實(shí)數(shù)，且k≠0，
∴[2ⁿ⁺²+3ⁿ⁺²-p×2ⁿ⁺¹-p×3ⁿ⁺¹]÷[2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹-p×2ⁿ-p×3ⁿ]=k，
整理，得 4×2ⁿ+9×3ⁿ-2p×2ⁿ-3p×3ⁿ=2k×2ⁿ+3k×3ⁿ-kp×2ⁿ-kp×3ⁿ （4-2p-2k+kp）×2ⁿ+（9-3p-3k+kp）×3ⁿ=0 隨n變化，
2ⁿ、3ⁿ均為變量，要等式成立，只有系數(shù)為0，
∴4-2p-2k+kp=0，且9-3p-3k+kp=0，
解得p=2，k=3或p=3 k=2．
∴常數(shù)p為2或3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的判斷與證明，考查滿足等比數(shù)列的常數(shù)值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．