Question

14．正項等比數(shù)列{a_n}中，a₁=sinθ，a₂=cosθ，a₃=tanθ，則1+cosθ是此等比數(shù)列的第8項．

Answer 1

分析 正項等比數(shù)列{a_n}中，a₁=sinθ，a₂=cosθ，a₃=tanθ，可得${a}_{2}^{2}$=a₁a₃，公比q=$\frac{cosθ}{sinθ}$=$\frac{1}{tanθ}$．化為：cosθ=tan²θ．可得a₄=1，以此類推即可得出．

解答 解：∵正項等比數(shù)列{a_n}中，a₁=sinθ，a₂=cosθ，a₃=tanθ，
∴${a}_{2}^{2}$=a₁a₃，公比q=$\frac{cosθ}{sinθ}$=$\frac{1}{tanθ}$．
∴cos²θ=sinθ•tanθ，
化為：cosθ=tan²θ．
∴a₄=$tanθ×\frac{cosθ}{sinθ}$=1，
a₅=$\frac{cosθ}{sinθ}$=$\frac{1}{tanθ}$，
a₆=$\frac{co{s}^{2}θ}{si{n}^{2}θ}$=$\frac{1}{ta{n}^{2}θ}$，
a₇=$\frac{1}{ta{n}^{3}θ}$，
a₈=$\frac{1}{ta{n}^{4}θ}$=$\frac{1}{co{s}^{2}θ}$=1+tan²θ=1+cosθ，
因此1+cosθ是此等比數(shù)列的第8項．
故答案為：8．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．