Question

17．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的短軸長為2，離心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若斜率為k的直線過點M（2，0），且與橢圓C相交于A，B兩點．試求k為何值時，三角形OAB是以O為直角頂點的直角三角形．

Answer 1

分析 （1）由橢圓短軸長為2，離心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓方程．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=k（x-2），代入橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1中，得到關(guān)于x的一元二次方程，由判別式求出k的取值范圍，和用k表示的x₁+x₂，x₁x₂的表達式，根據(jù)向量垂直的坐標表示的充要條件列出關(guān)于k的方程，求解即可．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的短軸長為2，離心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2b=2}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，
解得a²=2，b²=1，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（2）由已知直線AB的斜率存在，設AB的方程為：y=k（x-2），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
∵斜率為k的直線過點M（2，0），且與橢圓C相交于A，B兩點，
∴△=64k⁴-4（1+2k²）（8k²-2）＞0，
解得：${k}^{2}＜\frac{1}{2}$，即k∈（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
∵O為直角頂點，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x}_{1}{y}_{1}+{x}_{2}{y}_{2}=0$，
∵y₁y₂=k（x₁-2）•k（x₂-2），
∴$\frac{8{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}+\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=0，解得k=$±\frac{\sqrt{5}}{5}$，滿足k²$＜\frac{1}{2}$，∴k=$±\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的實數(shù)值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質(zhì)、根的判別式、韋達定理、向量垂直等知識點的合理運用．