Question

5．已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C$：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，點(diǎn)$（\sqrt{3}，\frac{1}{2}）$在橢圓C上．直線l過(guò)點(diǎn)（1，1），且與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）橢圓C上是否存在一點(diǎn)P，使得$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OP}$？若存在，求出此時(shí)直線l的方程，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （I）運(yùn)用離心率公式和點(diǎn)滿(mǎn)足橢圓方程，解方程可得a=2，b=1，進(jìn)而得到橢圓方程；
（Ⅱ）討論直線l的斜率不存在和存在，設(shè)出直線的方程，代入橢圓方程，運(yùn)用判別式大于0和韋達(dá)定理，結(jié)合向量的加法的坐標(biāo)表示，化簡(jiǎn)整理解方程即可得到所求直線方程．

解答 解：（I）由題意得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{4^{2}}$=1，a²-b²=c²，
解得a=2，b=1，
所以橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（Ⅱ）（1）當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，點(diǎn)P（2，0），
直線l的方程為x=1滿(mǎn)足題意；
（2）當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l：y=kx+m，顯然k≠0，m≠0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將y=kx+m代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0，$△={（8km）^2}-4（4{k^2}+1）（4{m^2}-4）＞0，{x_1}+{x_2}=\frac{-8km}{{4{k^2}+1}}$．
${y_1}+{y_2}=k（{{x_1}+{x_2}}）+2m=\frac{2m}{{4{k^2}+1}}$．
由直線l：y=kx+m（k≠0，m≠0），過(guò)點(diǎn)（1，1），得m=1-k，
因此${x_1}+{x_2}=\frac{8k（k-1）}{{4{k^2}+1}}，{y_1}+{y_2}=\frac{2（1-k）}{{4{k^2}+1}}$．$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=（{{x_1}+{x_2}，{y_1}+{y_2}}）=（{\frac{8k（k-1）}{{4{k^2}+1}}，\frac{2（1-k）}{{4{k^2}+1}}}）$，
$\frac{1}{4}{（{\frac{8k（k-1）}{{4{k^2}+1}}}）^2}+{（{\frac{2（1-k）}{{4{k^2}+1}}}）^2}=\frac{{4{{（1-k）}^2}}}{{4{k^2}+1}}=1$，
4（1-k）²=4k²+1，得$k=\frac{3}{8}，m=\frac{5}{8}$．滿(mǎn)足△＞0．
所以直線l的方程為$y=\frac{3}{8}x+\frac{5}{8}$．
綜上，橢圓C上存在點(diǎn)P，使得$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OP}$成立，
此時(shí)直線l的方程為$y=\frac{3}{8}x+\frac{5}{8}$或x=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式和點(diǎn)滿(mǎn)足橢圓方程，考查直線方程的求法，注意討論直線的斜率，以及聯(lián)立直線方程和橢圓方程運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0，同時(shí)考查向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于中檔題．