Question

10．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=3，a_n=$\frac{3{a}_{n-1}-2}{{a}_{n-1}}$（n≥2，n∈N^*），求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 構(gòu)造b_n=$\frac{{a}_{n}-2}{1-{a}_{n}}$，證明數(shù)列{b_n}是以-$\frac{1}{2}$為首項(xiàng)，-$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，求出其通項(xiàng)，即可求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答 解：設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n}-2}{1-{a}_{n}}$
∵a_n=$\frac{3{a}_{n-1}-2}{{a}_{n-1}}$，
∴b_n=$\frac{{a}_{n-1}-2}{2-2{a}_{n-1}}$
∴$\frac{_{n}}{_{n-1}}$=-$\frac{1}{2}$
∵a₁=3，
∴b₁=-$\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列{b_n}是以-$\frac{1}{2}$為首項(xiàng)，-$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，
∴b_n=-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{{a}_{n}-2}{1-{a}_{n}}$=-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴a_n=$\frac{{2}^{n+1}-1}{{2}^{n}-1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，考查構(gòu)造法的運(yùn)用，正確構(gòu)造是關(guān)鍵．