Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-|1-x|，x∈（-∞，2）}\\{2f（x-2），x∈[2，+∞）}\end{array}\right.$，設(shè)方程f（x）=2${\;}^{\frac{x-1}{2}}$的根從小到大依次為x₁，x₂，…x_n，…，n∈N^*，則數(shù)列{f（x_n）}的前n項和為（　　）

• A． n²
• B． n²+n
• C． 2ⁿ-1
• D． 2ⁿ⁺¹-1

Answer 1

分析 作出函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-|1-x|，x∈（-∞，2）}\\{2f（x-2），x∈[2，+∞）}\end{array}\right.$的圖象，可得數(shù)列{f（x_n）}從小到大依次為1，2，4，…，組成以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，即可求出數(shù)列{f（x_n）}的前n項和．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-|1-x|，x∈（-∞，2）}\\{2f（x-2），x∈[2，+∞）}\end{array}\right.$的圖象如圖所示，
x=1時，f（x）=1，x=3時，f（x）=2，x=5時，f（x）=4，
所以方程f（x）=2${\;}^{\frac{x-1}{2}}$的根從小到大依次為1，3，5，…，數(shù)列{f（x_n）}從小到大依次為1，2，4，…，組成以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，
所以數(shù)列{f（x_n）}的前n項和為$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1，
故選：C．

點評 本題考查方程根，考查數(shù)列的求和，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確作圖，確定數(shù)列{f（x_n）}從小到大依次為1，2，4，…，組成以1為首項，2為公比的等比數(shù)列是關(guān)鍵．