Question

2．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1，（a＞1），過點A（-a，0）斜率為k（k＞0）的直線交橢圓于點B．直線BO（O為坐標原點）交橢圓于另一點C．
（1）當a=2時是否存在k使得|AC|=|BC|？
（2）若k∈[$\frac{1}{2}$，1]，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線AB的方程為x+a=my（m=$\frac{1}{k}$），代入橢圓方程，運用中點坐標公式可得P的坐標，再由兩直線垂直的條件，可得m，進而得到k的值；
（2）求出△ABC的面積，化簡整理，再令f（m）=m+$\frac{{a}^{2}}{m}$，求出導數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到最大值，注意討論a的范圍．

解答 解：（1）設(shè)直線AB的方程為x+a=my（m=$\frac{1}{k}$），
代入橢圓方程得（m²+a²）y²-2may=0
將a=2代入得（m²+4）y²-4my=0，
則AB的中點坐標為P（-$\frac{8}{{m}^{2}+4}$，$\frac{2m}{{m}^{2}+4}$），
B（$\frac{2{m}^{2}-8}{{m}^{2}+4}$，$\frac{4m}{{m}^{2}+4}$），C（-$\frac{2{m}^{2}-8}{{m}^{2}+4}$，-$\frac{4m}{{m}^{2}+4}$），
則$\frac{\frac{2m}{{m}^{2}+4}+\frac{4m}{{m}^{2}+4}}{\frac{-8}{{m}^{2}+4}+\frac{2{m}^{2}-8}{{m}^{2}+4}}$=-$\frac{1}{k}$=-m，解得m=$\sqrt{5}$，
所以存在k=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，使得|AC|=|BC|；
（2）由（1）得B（$\frac{a{m}^{2}-{a}^{3}}{{a}^{2}+{m}^{2}}$，$\frac{2am}{{a}^{2}+{m}^{2}}$），C（-$\frac{a{m}^{2}-{a}^{3}}{{a}^{2}+{m}^{2}}$，-$\frac{2am}{{a}^{2}+{m}^{2}}$），
△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$a•$\frac{4am}{{a}^{2}+{m}^{2}}$=$\frac{2{a}^{2}}{m+\frac{{a}^{2}}{m}}$，
令f（m）=m+$\frac{{a}^{2}}{m}$，f′（m）=1-$\frac{{a}^{2}}{{m}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}-{a}^{2}}{{m}^{2}}$（1≤m≤2）
當a≥2時，f′（m）≤0，f（m）=m+$\frac{{a}^{2}}{m}$，在[1，2]上單調(diào)遞減，
所以當m=2時，△ABC的面積的最大值為$\frac{4{a}^{2}}{4+{a}^{2}}$，
當1＜a＜2時，f（m）=m+$\frac{{a}^{2}}{m}$在[1，a]上單調(diào)遞減，在[a，2]上單調(diào)遞增，
所以當m=a時，△ABC的面積的最大值為a．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓方程的運用，聯(lián)立直線方程，運用中點坐標公式，以及直線垂直的條件，同時考查三角形的面積的最值，注意運用函數(shù)的導數(shù)判斷單調(diào)性，屬于中檔題．