Question

9．設(shè)m∈R，函數(shù)f（x）=（x-m）²+（e^2x-2m）²，若存在x₀使得f（x₀）≤$\frac{1}{5}$成立，則m=（　�。�

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=（x-m）²+（e^2x-2m）²，表示兩點(diǎn)P（x，e^2x），Q（m，2m）之間的距離的平方．分別令f（x）=e^2x，g（x）=2x．利用導(dǎo)數(shù)研究切線方程的斜率，再利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得出．

解答 解：函數(shù)f（x）=（x-m）²+（e^2x-2m）²，表示兩點(diǎn)P（x，e^2x），Q（m，2m）之間的距離的平方．
分別令f（x）=e^2x，g（x）=2x．
f′（x）=2e^2x，令$2{e}^{2{x}_{0}}$=2，解得x₀=0，可得P（0，1）．
則點(diǎn)P（0，1）到直線y=2x的距離d=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，∴d²=$\frac{1}{5}$．
因此存在x₀=0使得f（x₀）≤$\frac{1}{5}$成立，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+1}\\{y=2x}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{2}{5}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線的斜率、點(diǎn)到直線的距離公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．