Question

4．已知函數(shù)f（x）=x²-x-$\frac{4x}{x-1}$（x＜0），g（x）=x²+bx-2（x＞0），b∈R，若f（x）圖象上存在A，B兩個不同的點與g（x）圖象上A′，B′兩點關于y軸對稱，則b的取值范圍為（　　）

• A． （-4$\sqrt{2}$-5，+∞）
• B． （4$\sqrt{2}$-5，+∞）
• C． （-4$\sqrt{2}$-5，1）
• D． （4$\sqrt{2}$-5，1）

Answer 1

分析 根據(jù)題意條件等價為f（-x）=g（x）在（0，+∞）上有兩個不同的解，利用參數(shù)分離法，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可得到結(jié)論．

解答 解：由題意知，方程f（-x）=g（x）在（0，+∞）上有兩個不同的解，
即x²+x-$\frac{4x}{x+1}$=x²+bx-2，
則b=+1-$\frac{4}{x+1}$
則b＜1，
又b=$\frac{{x}^{2}-x+2}{{x}^{2}+x}$，
設h（x）=$\frac{{x}^{2}-x+2}{{x}^{2}+x}$，
則h′（x）=$\frac{（2x-1）（{x}^{2}+x）-（{x}^{2}-x+2）（2x+1）}{（{x}^{2}+x）^{2}}$=$\frac{2（{x}^{2}-2x-1）}{（{x}^{2}+x）^{2}}$，
由h′（x）=0得x²-2x-1=0得x=1+$\sqrt{2}$或1-$\sqrt{2}$（舍），
當0＜x＜1+$\sqrt{2}$時，h′（x）＜0，函數(shù)h（x）遞減，
當x＞1+$\sqrt{2}$時，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）遞增，
則當x=1+$\sqrt{2}$時，h（x）取得極小值，
此時h（1+$\sqrt{2}$）=$\frac{2}{1+\sqrt{2}}$+1-$\frac{4}{1+\sqrt{2}+1}$=2（$\sqrt{2}$-1）+1-$\frac{4}{2+\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$-2+1-$\frac{4（2-\sqrt{2}）}{4-2}$=2$\sqrt{2}$-2+1-2（2-$\sqrt{2}$）=4$\sqrt{2}$-5，
∴要使則b=$\frac{2}{x}$+1-$\frac{4}{x+1}$在（0，+∞）上有兩個不同的交點，
則4$\sqrt{2}$-5＜b＜1，
即a的取值范圍是（4$\sqrt{2}$-5，1）
故選：D．

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應用，考查函數(shù)圖象的對稱變換，函數(shù)交點個數(shù)及位置的判定，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為f（-x）=g（x）在（0，+∞）上有兩個不同的解是解決本題的關鍵．，綜合性強，難度較大．