Question

1．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=3，a_n+1-a_n=8×3^2n-1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=na_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用“累加求和”方法即可得出．
（2）利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=3，a_n+1-a_n=8×3^2n-1．
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=8×（3^2n-3+3^2n-5+…+3¹）+3
=8×$\frac{3（{9}^{n-1}-1）}{9-1}$+3=3^2n-1．
∴a_n=3^2n-1．
（2）b_n=na_n=n×3^2n-1．
∴數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=3+2×3³+3×3⁵+…+n×3^2n-1．
∴9S_n=3³+2×3⁵+…+（n-1）×3^2n-1+n×3²ⁿ⁺¹，
∴兩式相減得-8S_n=3+3³+3⁵+…+3^2n-1-n×3²ⁿ⁺¹=$\frac{3（{9}^{n}-1）}{9-1}$-n×3²ⁿ⁺¹=$\frac{（1-8n）×{3}^{2n+1}-3}{8}$，
∴S_n=$\frac{（8n-1）×{3}^{2n+1}+3}{64}$．

點評 本題考查了“累加求和”方法、“錯位相減法”、等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．