Question

2．已知函數(shù)：$f（x）=1+x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+…+\frac{{{x^{2015}}}}{2015}$，$g（x）=1-x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}-…-\frac{{{x^{2015}}}}{2015}$，設(shè)函數(shù)F（x）=f（x+3）•g（x-5），且函數(shù)F（x）的零點均在區(qū)間[a，b]（a＜b，a，b∈Z）內(nèi)，則b-a的最小值為（　�。�

• A． 8
• B． 9
• C． 10
• D． 11

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)分別求出函數(shù)f（x）、g（x）的零點所在的區(qū)間，然后再求F（x）=f（x+3）•g（x-4）的零點所在區(qū)間，即求f（x+3）的零點和g（x-4）的零點所在區(qū)間，根據(jù)圖象平移即可求得結(jié)果．

解答 解：∵f（0）=1＞0，f（-1）=1-1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$…+$\frac{1}{2015}$＜0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，0）內(nèi)有零點；
當(dāng)x∈（-1，0）時，f′（x）=$\frac{1{+x}^{2015}}{1+x}$＞0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，0）上單調(diào)遞增，
故函數(shù)f（x）有唯一零點x∈（-1，0）；
∵g（1）=1-1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…-$\frac{1}{2015}$＞0，g（2）=1-2+$\frac{{2}^{2}}{2}$-$\frac{{2}^{3}}{3}$+…+$\frac{{2}^{2014}}{2014}$-$\frac{{2}^{2015}}{2015}$＜0．
當(dāng)x∈（1，2）時，g′（x）=-1+x-x²+x³-…+x²⁰¹³-x²⁰¹⁴=$\frac{{x}^{2014}-1}{x+1}$＞0，
∴函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞增，故函數(shù)g（x）有唯一零點x∈（1，2）；
∵F（x）=f（x+3）•g（x-4），且函數(shù)F（x）的零點均在區(qū)間[a，b]（a＜b，a，b∈Z）內(nèi)，
∴f（x+3）的零點在（-4，-3）內(nèi)，g（x-4）的零點在（5，6）內(nèi)，
因此F（x）=f（x+3）•g（x-3）的零點均在區(qū)間[-4，6]內(nèi)，
∴b-a的最小值為10．
故選：C．

點評 本題考查了函數(shù)零點的判定定理和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及數(shù)列求和問題，也考查了函數(shù)圖象的平移問題，體現(xiàn)了分類討論思想，以及靈活應(yīng)用知識分析解決問題的能力，是難題．