Question

11．課本介紹過平面向量數(shù)量積運(yùn)算的幾何意義：$\overrightarrow a•\overrightarrow b$等于$\overrightarrow a$的長(zhǎng)度$|{\overrightarrow a}|$與$\overrightarrow b$在$\overrightarrow a$方向上的投影$|{\overrightarrow b}|cos＜\overrightarrow a，\overrightarrow b＞$的乘積．運(yùn)用幾何意義，有時(shí)能得到更巧妙的解題思路．例如：邊長(zhǎng)為1的正六邊形ABCDEF中，點(diǎn)P是正六邊形內(nèi)的一點(diǎn)（含邊界），則$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$的取值范圍是$[{-\frac{1}{2}，\frac{3}{2}}]$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，結(jié)合向量在向量方向上的投影求得答案．

解答 解：如圖，
當(dāng)P點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，$\overrightarrow{AP}$在$\overrightarrow{AB}$方向上的投影$|\overrightarrow{AC}|cos＜\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{AB}＞$最大，
$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$取得最大值為1+1×cos60°=$\frac{3}{2}$；
當(dāng)P點(diǎn)與F點(diǎn)重合時(shí)，$\overrightarrow{AP}$在$\overrightarrow{AB}$方向上的投影$|\overrightarrow{AF}|cos＜\overrightarrow{AF}，\overrightarrow{AB}＞$最小，
$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$取得的最小值為1×cos120°=$-\frac{1}{2}$．
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$的取值范圍是$[{-\frac{1}{2}，\frac{3}{2}}]$．
故答案為：$[{-\frac{1}{2}，\frac{3}{2}}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了向量在向量方向上的投影的概念，是中檔題．