Question

13．已知f（x）=-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx，設(shè)α∈（0，2π），f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{1}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求sinα

Answer 1

分析 首先通過三角函數(shù)的關(guān)系式的恒等變換把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用已知條件求出$sin（α+\frac{π}{3}）=\frac{1}{4}$，最后利用角的恒等變換求出結(jié)果．

解答 解：f（x）=-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx
=-$\sqrt{3}\frac{1-cos2x}{2}+\frac{sin2x}{2}$
=$sin（2x+\frac{π}{3}）-\frac{\sqrt{3}}{2}$
由于：f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{1}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以：$sin（α+\frac{π}{3}）-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}}{2}$，
則：$sin（α+\frac{π}{3}）=\frac{1}{4}$，
又：0＜α＜2π，
則：$\frac{π}{3}＜α+\frac{π}{3}＜\frac{7π}{3}$，
則：$cos（α+\frac{π}{3}）=±\frac{\sqrt{15}}{4}$，
sinα=$sin[（α+\frac{π}{3}）-\frac{π}{3}]$=sin（$α+\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{3}$-cos（$α+\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{3}$=$\frac{1±3\sqrt{5}}{8}$

點(diǎn)評 本題考查的知識要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，三角函數(shù)中的角的恒等變換，及相關(guān)的運(yùn)算問題．主要考查學(xué)生的應(yīng)用能力．