Question

5．對(duì)于任意|m|≤2的實(shí)數(shù)m，x∈（a，b），x²-mx-3＜0恒成立，求b-a的最大值．

Answer 1

分析 轉(zhuǎn)化為以m為變量的函數(shù)形式，構(gòu)造函數(shù)f（m）=x²-mx-3

解答 解：∵|m|≤2，∴-2≤m≤2，
則若對(duì)于任意|m|≤2的實(shí)數(shù)m，x∈（a，b），x²-mx-3＜0恒成立，
設(shè)f（m）=x²-mx-3=（-x）m+x²-3，
則等價(jià)為$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）＜0}\\{f（2）＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{2x+{x}^{2}-3＜0}\\{{x}^{2}-2x-3＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-3＜x＜1}\\{-1＜x＜3}\end{array}\right.$，解得-1＜x＜1，
∵x∈（a，b），
∴當(dāng)b=1，a=-1時(shí)，b-a取得最大值為1-（-1）=2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為m為主變量是解決本題的關(guān)鍵．