Question

14．如圖所示，在斜度一定的山坡上的一點(diǎn)A測(cè)得山頂上一建筑物頂端C對(duì)于山坡的斜度為15°，向山頂前進(jìn)100米后到達(dá)點(diǎn)B，又從點(diǎn)B測(cè)得斜度為45°，建筑物的高CD為50米．
（1）求BC長(zhǎng)；
（2）求此山對(duì)于地平面的傾斜角θ（計(jì)算出函數(shù)值即可）．

Answer 1

分析 （1）在三角形ABC中，由∠CBD-∠CAB求出∠ACB的度數(shù)，再由AB的長(zhǎng)，以及sin∠CAB與sin∠ACB的值，利用正弦定理表示出BC；
（2）在三角形DBC中，由CD，∠CBD=45°與∠CDB=90°+θ，利用正弦定理列出關(guān)系式，將各自的值代入利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，即可求出cosθ的值．

解答 解：（1）在△ABC中，∠BAC=15°，AB=100米，∠ACB=45°-15°=30°．
根據(jù)正弦定理有$\frac{100}{sin30°}$=$\frac{BC}{sin15°}$，∴BC=50（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$）．…（6分）
（2）在△BCD中，∵CD=50，BC=$\frac{100sin15°}{sin30°}$，∠CBD=45°，∠CDB=90°+θ，
根據(jù)正弦定理有$\frac{CD}{sin45°}$=$\frac{BC}{sin（90°+θ）}$，
解得cosθ=$\sqrt{3}$-1  …（12分）

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．