Question

提高穿山隧道的車輛通行能力可有效改善交通狀況，在一般情況下，隧道內(nèi)的車流速度v（單位：千米、小時）是車流密度x（單位：輛/千米，車流密度指每千米道路上車輛的數(shù)量）的函數(shù)．當(dāng)隧道內(nèi)的車流密度達(dá)到210輛/千米時，將造成堵塞，此時車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過30輛/千米時，車流速度為60千米/小時，研究表明：當(dāng)30≤x≤210時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)0≤x≤210時，求函數(shù)v（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）當(dāng)車流密度x為多大時，車流量（單位時間內(nèi)通過某觀測點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時）f（x）=x•v（x）可以達(dá)到最大，并求出最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（I）根據(jù)題意，函數(shù)v（x）表達(dá)式為分段函數(shù)的形式，關(guān)鍵在于求函數(shù)v（x）在60≤x≤600時的表達(dá)式，根據(jù)一次函數(shù)表達(dá)式的形式，用待定系數(shù)法可求得；
（II）由（Ⅰ）可知f(x)=

60x，0≤x≤30 - 1 3 x2+70x，30≤x≤210

，分段求最值，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知，當(dāng)0≤x≤30時，v（x）=60；
當(dāng)30≤x≤210時，設(shè)v（x）=ax+b，
由已知可得

30a+b=60 210a+b=0

，解得

a=- 1 3 b=70

．
所以函數(shù)v(x)=

60，0≤x≤30 - 1 3 x+70，30≤x≤210

．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f(x)=

60x，0≤x≤30 - 1 3 x2+70x，30≤x≤210

當(dāng)0≤x≤30時，f（x）=60x為增函數(shù)，
∴當(dāng)x=30時，其最大值為1800．…（9分）
當(dāng)30≤x≤210時，f(x)=-

1

3

x2+70x=-

1

3

(x-105)2+3675，
當(dāng)x=105時，其最大值為3675．…（11分）
綜上，當(dāng)車流密度為105輛/千米時，車流量最大，最大值為3675輛．…（12分）

點(diǎn)評：本題給出車流密度的實(shí)際問題，求車流量的最大值及相應(yīng)的車流密度，著重考查了函數(shù)、最值等基礎(chǔ)知識，同時考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，屬于中檔題．