Question

10．如圖，四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD為正方形，BC=PD=2，E為PC的中點(diǎn)，G在BC上，且CG=$\frac{1}{3}$CB
（1）求證：PC⊥BC；
（2）求三棱錐C-DEG的體積；
（3）AD邊上是否存在一點(diǎn)M，使得PA∥平面MEG？若存在，求AM的長(zhǎng)；否則，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）證明PD⊥BC．BC⊥CD．推出BC⊥平面PCD．然后證明PC⊥BC．
（2）說(shuō)明GC是三棱錐G-DEC的高．求出S_△EDC．然后通過(guò)V_C-DEG=V_G-DEC，求解幾何體的體積．
（3）連結(jié)AC，取AC中點(diǎn)O，連結(jié)EO、GO，延長(zhǎng)GO交AD于點(diǎn)M，則PA∥平面MEG．利用直線與平面平行的判定定理證明．通過(guò)△OCG≌△OAM，求解所求AM的長(zhǎng)．

解答 解：（1）證明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC．又∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD．
又∵PD∩CD=D，∴BC⊥平面PCD．又∵PC?平面PCD，∴PC⊥BC．----------------4
（2）∵BC⊥平面PCD，
∴GC是三棱錐G-DEC的高．
∵E是PC的中點(diǎn)，
∴S_△EDC=$\frac{1}{2}$S_△PDC=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}PD•DC$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$×2×2）=1．
∴V_C-DEG=V_G-DEC=$\frac{1}{3}$GC•S_△DEC=$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$×1=$\frac{2}{9}$．-----------------------------8
（3）連結(jié)AC，取AC中點(diǎn)O，連結(jié)EO、GO，延長(zhǎng)GO交AD于點(diǎn)M，則PA∥平面MEG．
證明：∵E為PC的中點(diǎn)，O是AC的中點(diǎn)，∴EO∥PA．又∵EO?平面MEG，PA?平面MEG，
∴PA∥平面MEG．
在正方形ABCD中，∵O是AC的中點(diǎn)，BC=PD=2，CG=$\frac{1}{3}$CB．
∴△OCG≌△OAM，∴AM=CG=$\frac{2}{3}$，∴所求AM的長(zhǎng)為$\frac{2}{3}$．----------------------------12

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行，幾何體的體積的求法，距離公式的應(yīng)用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力計(jì)算能力．